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185.
在罗巴切夫斯基之后，非欧几何就得到了长足的发展。
首先是德国数学家黎曼，基于罗巴切夫斯基等人的思想，建立了一种更广泛的几何，即现在所说的黎曼几何。
自此，非欧几何得到了正式的确认和建立。
如果说欧几里德几何是基于经典平面下的几何。
那么非欧几何就是一种专门研究曲面状态下的几何。
几何学在非欧几何的建立后，得到了极大的拓展和延伸。
就好比在相对论出现后，牛顿的经典力学变成了低速状态下才成立一样。
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。
而19世纪的几何学，可以理解为一场广义的非欧运动：从三维到高维、从平直道弯曲……
此外射影几何的发展，也给了欧氏几何最后一击，让欧氏几何从神圣的位置上，彻底跌落。
由于19世纪几何学的繁荣发展，也使得几何衍生出了许多流派。
最后，为了统一几何学，19世纪最有名的数学家之一希尔伯特，在1899年编著的《几何基础》中，使用公理化的方法，系统的将原来的公理体系整理了一遍。
所为的公理，就是没办法被其他公里推导出来，而是依据人类的理性和直觉不证自明的基本事实。
这也是有人说数学是一门人类主观定义的学科的真正缘故，因为公理是没办法被证明的，只能依赖人类的直觉感受去定义。
而人类的直觉感受就是主观的，是对宇宙客观规律的一种感受。
但是，人类的直觉感受到的宇宙客观规律，就一定是公理所描述的那样吗？真的是完全不可动摇吗？
人类的直觉感受真的不会出问题吗？
宇宙客观规律，在经过人类直觉感受后，不会发生扭曲吗？
这些问题，都是进入20世纪后，困扰整个数学界，乃至科学界的一大难题。
这就好比，一个二维生物，他永远不会有三维感观，所以他所看到的世界永远是二维的，他所看到的客观规律，也仅仅只是高维世界呈现在二维层面上的一种投影，而非全部。
所以，二维生物觉得天经地义的某种公理，在三维层面，可能是完全另外一种形式。
比如，二维生物可以提出这样一个公理：一条无限延伸的直线，是绝对没办法绕过的。
这个公理在二维世界里，可以说是天经地义，绝对正确的。
但这样的正确，是基于二维生物对二维世界的主观观察得出来的。
是二维生物主观定义出的公理，然后二维生物可以基于这个公理发展出一套二维数学出来。
但是，如果我们以三维生物的角度去看的话，就会发现这个公理是完全站不住脚的。
所以，甚至可以极端的说，现代的数学和物理学，还有其他科学，都是建立在人对宇宙的观察基础上，发展出来的一种主客观交杂的学科，因为我们会受到自己感知器官的制约。
以至于在进入21世纪后，有一些比较激进的科学家都在怀疑：“我们甚至不知道我们看到的这片星空，到底是不是真的。”
非欧几何的发展，深刻的揭示了这残酷的现实。
那就是人类的直觉，并不可靠。
这样的不可靠，在进入20世纪后，随着科学的迅速发展，显得更为明显。
相对论和量子力学，都充分说明了，人类的直觉感观是多么的不可靠。
而几何学归根结底，就是建立在一条条公理之上的大厦。通过公理推导出一条条定理，最终形成了几何学的全部。
所以，一旦公理本身一旦出现问题，整个数学大厦的根基，也就随之动摇。
但非欧几何最大的其中一个意义就在于，他揭示了人类可以用数学来描述高维世界的可能。
也就是说，虽然人的思考是主观的，但是我们还是能找到如何用客观的方法，去尽可能描述这个世界。
而这个过程，必然不是一开始就是正确的，从欧几里德到非欧几何，从牛顿力学到相对论和量子力学。
人类所发现的这些理论，都是具有局限性，就是需要加一些先决条件才能程理。
比如欧几里德只有在平直的平面上成立。
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在罗巴切夫斯基之后，非欧几何就得到了长足的发展。
首先是德国数学家黎曼，基于罗巴切夫斯基等人的思想，建立了一种更广泛的几何，即现在所说的黎曼几何。
自此，非欧几何得到了正式的确认和建立。
如果说欧几里德几何是基于经典平面下的几何。
那么非欧几何就是一种专门研究曲面状态下的几何。
几何学在非欧几何的建立后，得到了极大的拓展和延伸。
就好比在相对论出现后，牛顿的经典力学变成了低速状态下才成立一样。
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。
而19世纪的几何学，可以理解为一场广义的非欧运动：从三维到高维、从平直道弯曲……
此外射影几何的发展，也给了欧氏几何最后一击，让欧氏几何从神圣的位置上，彻底跌落。
由于19世纪几何学的繁荣发展，也使得几何衍生出了许多流派。
最后，为了统一几何学，19世纪最有名的数学家之一希尔伯特，在1899年编著的《几何基础》中，使用公理化的方法，系统的将原来的公理体系整理了一遍。
所为的公理，就是没办法被其他公里推导出来，而是依据人类的理性和直觉不证自明的基本事实。
这也是有人说数学是一门人类主观定义的学科的真正缘故，因为公理是没办法被证明的，只能依赖人类的直觉感受去定义。
而人类的直觉感受就是主观的，是对宇宙客观规律的一种感受。
但是，人类的直觉感受到的宇宙客观规律，就一定是公理所描述的那样吗？真的是完全不可动摇吗？
人类的直觉感受真的不会出问题吗？
宇宙客观规律，在经过人类直觉感受后，不会发生扭曲吗？
这些问题，都是进入20世纪后，困扰整个数学界，乃至科学界的一大难题。
这就好比，一个二维生物，他永远不会有三维感观，所以他所看到的世界永远是二维的，他所看到的客观规律，也仅仅只是高维世界呈现在二维层面上的一种投影，而非全部。
所以，二维生物觉得天经地义的某种公理，在三维层面，可能是完全另外一种形式。
比如，二维生物可以提出这样一个公理：一条无限延伸的直线，是绝对没办法绕过的。
这个公理在二维世界里，可以说是天经地义，绝对正确的。
但这样的正确，是基于二维生物对二维世界的主观观察得出来的。
是二维生物主观定义出的公理，然后二维生物可以基于这个公理发展出一套二维数学出来。
但是，如果我们以三维生物的角度去看的话，就会发现这个公理是完全站不住脚的。
所以，甚至可以极端的说，现代的数学和物理学，还有其他科学，都是建立在人对宇宙的观察基础上，发展出来的一种主客观交杂的学科，因为我们会受到自己感知器官的制约。
以至于在进入21世纪后，有一些比较激进的科学家都在怀疑：“我们甚至不知道我们看到的这片星空，到底是不是真的。”
非欧几何的发展，深刻的揭示了这残酷的现实。
那就是人类的直觉，并不可靠。
这样的不可靠，在进入20世纪后，随着科学的迅速发展，显得更为明显。
相对论和量子力学，都充分说明了，人类的直觉感观是多么的不可靠。
而几何学归根结底，就是建立在一条条公理之上的大厦。通过公理推导出一条条定理，最终形成了几何学的全部。
所以，一旦公理本身一旦出现问题，整个数学大厦的根基，也就随之动摇。
但非欧几何最大的其中一个意义就在于，他揭示了人类可以用数学来描述高维世界的可能。
也就是说，虽然人的思考是主观的，但是我们还是能找到如何用客观的方法，去尽可能描述这个世界。
而这个过程，必然不是一开始就是正确的，从欧几里德到非欧几何，从牛顿力学到相对论和量子力学。
人类所发现的这些理论，都是具有局限性，就是需要加一些先决条件才能程理。
比如欧几里德只有在平直的平面上成立。
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